第一节 二重积分的概念与性质
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凸集和凸函数基础知识
凸集和凸函数
今天是春分，春分快乐~
—————— 谁把春光，平分一半，最惜今朝。
1. 凸集
1.1 凸集的定义
设集合 D⊂Rn\boldsymbol{D} \subset \mathbb{R}^nD⊂Rn ，如果对于任意的 x,y∈D\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{D}x,y∈D 与任意的 α∈[0,1]\alpha \in[0,1]α∈[0,1],有 αx+(1−α)y∈D\alpha \boldsymbol{x}+(1-\alpha) \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{D}αx+(1−α)y∈D ，则称 D\boldsymbol{D}D 是凸集（convexsetconvex \quad setconvexset）。
凸集的几何意义是：如果两个点属于此集合，则这两点连线上的 任意一点均属于此集合。
定义推广：D\boldsymbol{D}D 是凸集的充分必要条件是：
对任意∀m⩾2,∀x1,x2,⋯ ,xm∈D,∀α1,α2,⋯ ,αm\forall m \geqslant ...
基础知识回顾与拓展（一）
数学知识回顾与拓展(一)
1 线性代数
1.1 向量
在最优化方法的课程中，默认向量为列向量的形式。
nnn维列向量定义为包含nnn个实数的数组，记作：
a=[a1a2⋮an]\boldsymbol{a}=\left[\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right]
a=⎣⎢⎢⎢⎢⎡a1a2⋮an⎦⎥⎥⎥⎥⎤
aia_iai 表示向量 a\boldsymbol{a}a 的第 iii 个元素。定义 R\mathbb{R}R 为全体实数组成的集合，那么由实数组成的 nnn 维列向量可表示为 Rn\mathbb{R}^nRn, 称为 nnn 维实数向量空间。通常将 Rn\mathbb{R}^nRn 的元素(nnn维向量)用小写粗体字母表示 (如 x\boldsymbol{x}x )。向量 x∈Rn\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^nx∈Rn 中的元素记为 x1,⋯ ,xnx_1, \cdots, x_nx1,⋯,xn 。
nnn 维行向量记为 [a1,a2,⋯ ,an] ...
深度学习基础知识
#深度学习基础知识
cpp算法题之奇特的迷宫
蓝桥算法题：奇特的迷宫
题目来自蓝桥题库：1.奇特的迷宫 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)
编号：1994
题目：
如以下图(a)所示的15行、15列的迷宫(相当于n=8)，迷宫中每个位置可能为S（表示起始位置）、D（表示目标位置）、1～9的数字，且S和D各只有1个。对于1～9的数字，表示从当前位置出发，可以沿上、下、左、右方向走的方格数（多一个、少一个方格都不行）；图(b)演示的是，数字2表示可以沿上、下、左、右方向走2个方格，到达的位置用星号（*）表示。从S出发，可以沿上、下、左、右方向走1个方格。现在要求从S到D的最少步数。
输入描述：
输入文件中包含多个测试数据。每个测试数据的第1行为一个整数n，2≤n≤10，表示迷宫的大小为2n-1行、2n-1列。接下来有2n-1行，为每行各位置上的数字（或者为S、D），第1行有1个字符，第2行有2个字符，…，第n行有n个字符，第n+1行有n-1个字符，…，第2n-1行有1个字符。输入文件中最后一行为0，表示测试数据结束。
输出描述：
对每个测试数据，如果能从S走到D，输出最少步数；否则（即从S走不到D），输出0。
解答：
#in ...
二叉搜索树基于int类型key与Object类型value简单实现
二叉搜索树基于int类型key与Object类型value简单实现
403行代码没有一句废话,写的太累,后续闲下来了再补全注释与思路,后面可能还会实现基于泛型K,V key与value的实现
以下只提供代码(部分方法使用递归与非递归两种方法实现):
import java.util.ArrayList;public class BSTree1 { BSTNode root; static class BSTNode { int key; Object value; BSTNode left; BSTNode right; public BSTNode(int key) { this.key = key; } public BSTNode(int key, Object value) { this.key = key; this.value = value; } public BSTN ...
一个重要的反常积分
一个重要的反常积分
本文主要写一下反常积分A=∫0+∞e−x2dx\begin{aligned} A & =\int_0^{+\infty} e^{-x^2} d x\end{aligned}A=∫0+∞e−x2dx的结果及他(或变形)的计算方法，∫0+∞e−x2dx\begin{aligned} \int_0^{+\infty} e^{-x^2} d x\end{aligned}∫0+∞e−x2dx是一个非常重要的反常积分，在高数、概率论中有重要的应用。
方法一：二重积分
\begin{align}
A&=\int_0^{+\infty} e^{-x^2} d x \\ & =\sqrt{\left(\int_0^{+\infty} e^{-x^2} d x \cdot \int_0^{+\infty} e^{-x^2} d x\right)} \\ & =\sqrt{\left(\int_0^{+\infty} e^{-x^2} d x \cdot \int_0^{+\infty} e^{-y^2} d y\right)} \\ &a ...
第二节 微积分基本公式
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第一节 多元函数的基本概念
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第二节 偏导数
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第零篇 数列递推
第零篇 数列递推
PartⅠ 一阶常系数线性齐次递推
若数列{an}\{a_n\}{an}满足以下形式：
an+1=pan+q(p≠0)a_{n+1}=pa_n+q\quad(p\neq0)
an+1=pan+q(p=0)
其中p、qp、qp、q为给定的实数，数列首项为a1a_1a1。
称这个数列满足一阶常系数线性齐次递推的形式。
这种数列的通项公式很容易求，可以分成两种情况：
1. 若p=1p=1p=1，则an+1=an+qa_{n+1}=a_{n}+qan+1=an+q，此时数列为一个公差为qqq的等差数列，容易推得：
an=a1+(n−1)qa_n=a_1+(n-1)q
an=a1+(n−1)q
2. 若p≠1p\neq1p=1，则可以通过 待定系数法 来构造等比数列：假设存在一个系数AAA，使得an+1=pan+qa_{n+1}=pa_n+qan+1=pan+q可以写成an+1−A=p(an−A)a_{n+1}-A=p(a_n-A)an+1−A=p(an−A)的形式，这样做的目的是为了转换成一个等比数列的形式，之后就可以进 ...
第零篇 认识深度学习
第零篇 初识深度学习
