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t70

设随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立, \(X\) 服从参数为 1 的指数分布, \(Y\) 的概率分布为 \(P\{Y=-1\}=p, P\{Y=1\}=1-p\), 令 \(Z=XY\). （1） 求 \(Z\) 的概率密度; （2）求 \(p\) 为何值时， \(X\) 与 \(Z\) 不相关. （3） 问 \(X\) 与 \(Z\) 是否相互独立?

解析

（1） \(Z\) 的分布函数为 \[ \begin{aligned} F_Z(z) & =P\{Z \leqslant z\} \\ & =P\{Y=-1\} \dot{P}\{X Y \leqslant z \mid Y=-1\}+P\{Y=1\} P\{X Y \leqslant z \mid Y=1\} \\ & =p P\{-X \leqslant z\}+(1-p) P\{X \leqslant z\} . \end{aligned} \]

当 \(z<0\) 时, \(F_Z(z)=p P\{X \geqslant-z\}+(1-p) \cdot 0=p \mathrm{e}^z\); 当 \(z \geqslant 0\) 时, \(F_Z(z)=p \cdot 1+(1-p) P\{X \leqslant z\}=1-(1-p) \mathrm{e}^{-z}\). 所以 \(Z\) 的概率密度为 \[ \begin{aligned} f_Z(z)=F_Z^{\prime}(z) & = \begin{cases}p \mathrm{e}^z, & z<0, \\ (1-p) \mathrm{e}^{-z}, & z \geqslant 0 .\end{cases} \\ \end{aligned} \]

（2） \[ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X, Z) & =\operatorname{Cov}(X,XY)\\ & =E\left(X^2 Y\right)-E (X) \cdot E(X Y) \\ & =E\left(X^2\right) \cdot E(Y)-(E X)^2 \cdot E(Y) \\ & =\operatorname{Var}(X) \cdot (Y) \\ & =1-2 p, \end{aligned} \] 令 \(\operatorname{Cov}(X, Z)=0\), 解得 \(p=\dfrac{1}{2}\). 所以当 \(p=\dfrac{1}{2}\) 时, \(X\) 与 \(Z\) 不相关. (3) 因为 \[ \begin{gathered} P\{X \leqslant 1, Z \leqslant-1\}=P\{X \leqslant 1, X Y \leqslant-1\}=0, \\ P\{X \leqslant 1\}>0, P\{Z \leqslant-1\}>0, \end{gathered} \]

所以 \(P\{X \leqslant 1, Z \leqslant-1\} \neq P\{X \leqslant 1\} P\{Z \leqslant-1\}\), 故 \(X\) 与 \(Z\) 不相互独立.

t71

设 \(X, Y\) 为两个随机变量, 且 \(E X=2, E Y=1, \operatorname{Var}(X)=4, \operatorname{Var}(Y)=25, \rho_{XY}=-\dfrac{3}{5}\), 求 \(E[X(X+Y-2)]\).

解析

\[ \begin{aligned} E[X(X+Y-2)]&=E(X^2+XY-2X)\\ &=E(X^2)+E(XY)-2E(X)\\ &=\operatorname{Var}(X)+(E(X))^2+E(XY)-2E(X)\\ &=4+E(XY) \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \operatorname{Corr}(X,Y)&=\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\dfrac{E(XY)-E(X)E(Y)}{10}\\ &=\dfrac{E(XY)-2}{10}\\ &=-\dfrac{3}{5} \end{aligned} \]

解得 \(E(XY)=-4\) 再代入上式，得 \(E[X(X+Y-2)]=0.\)

t72

设随机变量 \(\mathrm{X}\) 和 \(\mathrm{Y}\) 相互独立, 分别服从参数为 \(\lambda_1, \lambda_2\) 的指数分布, 证明随机变量 \(\mathrm{U}\) \(=\mathrm{X}-\mathrm{Y}\) 和 \(\mathrm{V}=\min \{\mathrm{X}, \mathrm{Y}\}\) 相互独立.

解析

t73

默写大数定律和中心极限定理

答案

见《知识点总结》\(\S4.3、\S4.4.\)

t74

设 \(\left\{X_i\right\}\) 是独立同分布的随机变量序列, 且 \(X_i \sim U(0,1)\), 令 \(\displaystyle Y_n=\left(\prod_{i=1}^n X_i\right)^{\frac{1}{n}}\) 证明: \(\ln Y_n \xrightarrow{P} C\), 并求出该常数.

解析

\(\displaystyle \ln Y_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln X_i\)

由于 \(\left\{X_i\right\}\) 是独立同分布的随机变量序列, 则 \(\left\{\ln X_i\right\}\) 也是独立同分布的随机变量序列。

\(\displaystyle E\left(\ln X_i\right)=\int_0^1\ln xdx=-1\) 由辛钦大数定律得: \(\displaystyle \ln Y_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i \xrightarrow{P} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE\left(\ln X_i\right)=-1\)

\(C=-1.\)

t75

设 \(\left\{X_n\right\}\) 为独立的随机变量序列, 其中 \(X_n\) 服从参数为 \(\sqrt{n}\) 的泊松分布, 试问 \(\left\{X_n\right\}\)是否服从大数定律?

解析

\[ \frac{1}{n^2} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \leqslant \frac{n \sqrt{n}}{n^2} \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty) . \]

所以由马尔可夫大数定律知 \(\left\{X_n\right\}\) 服从大数定律.

t76

设 \(\left\{X_n\right\}\) 为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为 \[ P\left(X_n=\frac{2^k}{k^2}\right)=\frac{1}{2^k}, \quad k=1,2, \cdots . \]

试问 \(\left\{X_n\right\}\) 是否服从大数定律?

解析

因为 \[ E\left(X_n\right)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k^2} \cdot \frac{1}{2^k}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}<\infty, \]

即 \(E\left(X_n\right)\) 存在, 所以由辛钦大数定律知 \(\left\{X_n\right\}\) 服从大数定律.

t77

在伯努利试验中, 事件 \(A\) 出现的概率为 \(p\), 令 \[ X_n= \begin{cases}1, & \text { 若在第 } n \text { 次及第 } n+1 \text { 次试验中 } A \text { 都出现, } \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} \]

证明 \(\left\{X_n\right\}\) 服从大数定律.

解析

\(\left\{X_n\right\}\) 为同分布随机变量序列, 其共同分布为 \[ \begin{array}{c|cc} \hline X_n & 0 & 1 \\ \hline P & 1-p^2 & p^2 \\ \hline \end{array} \] 且 \(E\left(X_n\right)=E\left(X_n^2\right)=p^2\), 从而 \(\operatorname{Var}\left(X_n\right)=p^2\left(1-p^2\right) \leqslant 1\), 又当 \(|i-j| \geqslant 2\) 时, \(X_i\) 与 \(X_j\) 独立，所以 \[ \frac{1}{n^2} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2}\left[\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}\left(X_i\right)+2 \sum_{i=1}^{n-1} \operatorname{Cov}\left(X_i, X_{i+1}\right)\right] . \]

由施瓦茨不等式： \[ \left|\operatorname{Cov}\left(X_i, X_{i+1}\right)\right| \leqslant \sqrt{\operatorname{Var}\left(X_i\right)} \sqrt{\operatorname{Var}\left(X_{i+1}\right)}=p^2\left(1-p^2\right), \]

于是有 \[ \frac{1}{n^2} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \leqslant \frac{1}{n^2}\left[n p^2\left(1-p^2\right)+2(n-1) p^2\left(1-p^2\right)\right] \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty), \]

即马尔可夫条件成立, 故 \(\left\{X_n\right\}\) 服从大数定律.

t78

某型号螺丝钉的质量是相互独立且同分布的随机变量, 其期望为 \(50 \mathrm{~g}\), 标准差 5 克,则 100 个该型号得螺丝钉质量不超过 \(5.1 \mathrm{~kg}\) 的概率近似为？

解析

设 \(\displaystyle Y=\sum_{i=1}^{100} X_i\)由题意得, 各螺丝质量独立同分布, 由中心极限定理值, 其质量近似服从正态分布，即： \(Y\sim N\left(5,0.05^2\right)\) (单位:千克)

进而计算有: \[ P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leq 5.1\right\}=P\left\{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{100} X_i-5}{\sqrt{0.05^2}} \leq \frac{5.1-5}{\sqrt{0.05^2}}\right\} \approx \Phi(2) \]

t79

设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布, 平均需要 \(10 \mathrm{~min}\), 且各件产品的组装时间是相互独立的. (1) 试求组装 100 件产品需要 \(15 \mathrm{~h}\) 至 \(20 \mathrm{~h}\) 的概率; (2) 保证有 \(95 \%\) 的可能性, 问 \(16 \mathrm{~h}\) 内最多可以组装多少件产品?

解析

记 \(X_i\) 为组装第 \(i\) 件产品的时间 (单位: \(\min\) ), 则由 \(X_i \sim \operatorname{Exp}(\lambda), E\left(X_i\right)=1 / \lambda=\) 10 , 知 \(\operatorname{Var}\left(X_i\right)=1 / \lambda^2=100\). （1）根据题意所求概率如下, 再用林德伯格一莱维中心极限定理可得 \[ \begin{aligned} P\left(15 \times 60 \leqslant \sum_{i=1}^{100} X_i \leqslant 20 \times 60\right) & \approx \Phi\left(\frac{1200-100 \times 10}{\sqrt{100 \times 100}}\right)-\Phi\left(\frac{900-100 \times 10}{\sqrt{100 \times 100}}\right) \\ & =\Phi(2)-\Phi(-1)=\Phi(2)+\Phi(1)-1=0.8185 \end{aligned} \] （2）设 \(16 \mathrm{~h}\) 内最多可以组装 \(k\) 件产品. 则根据题意可列出概率不等式 \[ P\left(\sum_{i=1}^k X_i \leqslant 16 \times 60\right) \geqslant 0.95, \]

​ 再用林德伯格－莱维中心极限定理可得 \[ \Phi\left(\frac{960-10 k}{\sqrt{100 k}}\right) \geqslant 0.95, \]

​ 由此查表得 \(\dfrac{960-10 k}{10 \sqrt{k}} \geqslant 1.645\), 从中解得 \(k=81\).

t80

一家有 500 间客房的大旅馆的每间客房装有一台 \(2 \mathrm{~kW}\) (千瓦) 的空调机. 若开房率为 \(80 \%\), 需要多少千瓦的电力才能有 \(99 \%\) 的可能性保证有足够的电力使用空调机?

解析

记 \[ X_i= \begin{cases}1, & \text { 第 } i \text { 间客房开房, } \\ 0, & \text { 第 } i \text { 间客房未开房, }\end{cases} \]

则 \(X_i \sim b(1,0.8)\), 由此得 \(Y=X_1+X_2+\cdots+X_{500} \sim b(500,0.8)\). 设共有 \(k \mathrm{~kW}\) 的电力可供使用, 根据题意可列不等式 \[ P(2 Y \leqslant k)=P(Y \leqslant k / 2) \geqslant 0.99, \]

再用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理和修正项可得 \[ \Phi\left(\frac{k / 2+0.5-500 \times 0.8}{\sqrt{500 \times 0.8 \times 0.2}}\right) \geqslant 0.99, \]

或 \[ \Phi\left(\frac{k-799}{8 \sqrt{5}}\right) \geqslant 0.99 \]

由此查表得 \(\dfrac{k-799}{8 \sqrt{5}} \geqslant 2.33\), 从中解得 \(k \geqslant 840.68\), 取 \(k=841 \mathrm{~kW}\) 即可.这表明: 该旅馆每天需要 \(841 \mathrm{~kW}\) 电力, 才能以 \(99 \%\) 的把握保证空调机用电.

t81

某保险公司多年的统计资料表明, 在索赔户中被盗索赔户占 \(20 \%\), 以 \(X\) 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. (1) 写出 \(X\) 的分布列; (2) 求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值.

解析

  1. \(X\) 服从 \(n=100, p=0.2\) 的二项分布 \(b(100,0.2)\), 即 \[ P(X=k)=\binom{100}{k} 0.2^k 0.8^{100-k}, \quad k=0,1,2, \cdots, 100 . \]
  2. 利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理并修正项，有 \[ \begin{aligned} P(14 \leqslant X \leqslant 30) & =P(13.5<X<30.5) \\ & \approx \Phi\left(\frac{30.5-100 \times 0.2}{\sqrt{100 \times 0.2 \times 0.8}}\right)-\Phi\left(\frac{13.5-100 \times 0.2}{\sqrt{100 \times 0.2 \times 0.8}}\right) \\ & =\Phi(2.625)-\Phi(-1.625) \\ & =\Phi(2.625)-1+\Phi(1.625) \\ & =0.99565-1+0.948=0.9437 . \end{aligned} \]

这表明: 被盗索赔户在 14 与 30 户之间的概率近似为 0.9437 .

t82

某产品的合格品率为 \(99\%\), 问包装箱中应该装多少个此种产品, 才能有 \(95 \%\) 的可能性使每箱中的合格品多于 \(100\) 个。

解析

设包装中有几个产品. X为合格品数 \(\quad X \sim B(n, 0.99)\) 则 \(E(x)=0.99 \pi \quad \operatorname{Var}(x)=0.99 \times 0.01 \times n\) 由中心极限定理: \(X\) 近似服从 \(N(0.99 n, 0.99 \times 0.01 \times n)\) \[ \begin{aligned} & \text { 目标: } P\{X>100\} \geqslant 0.95 \quad P\{X>100\}=1-P\{X \leqslant 100\}=1-P\left(\frac{X-0.99 n}{\sqrt{0.99 \times 0.01 \times n}} \leqslant \frac{100-0.99 n}{\sqrt{0.99 \times 0.01 \times n}}\right) \\ & \Rightarrow \Phi\left(\frac{100-0.99 n}{\sqrt{0.99 \times 0.01 \times n}}\right) \leqslant 0.05 \quad \text { 而 } \Phi(1.645)=0.95 \\ & \Rightarrow \frac{100-0.99 n}{\sqrt{0.99 \times 0.01 \times n}} \leq 1.655 \quad n \geqslant 103.19 \quad \text { 所以104个产品. } \end{aligned} \]

t83

有一批建筑房屋用的木柱, 其中 \(80 \%\) 的长度不小于 \(3 \mathrm{~m}\), 现从这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 \(3 \mathrm{~m}\) 的概率是多少?

解析

设 \(X\) 为 100 根木柱中长度不小于 \(3 \mathrm{~m}\) 的根数, 则 \(X \sim b(100,0.8)\). 利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理, 所求概率为 \[ \begin{aligned} P(X \leqslant 70) & =P(X<70.5) \approx \Phi\left(\frac{70.5-100 \times 0.8}{\sqrt{100 \times 0.8 \times 0.2}}\right) \\ & =1-\Phi(2.375)=0.0088 . \end{aligned} \]