概率论习题(4)

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t70

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $X$ 服从参数为 1 的指数分布, $Y$ 的概率分布为 $P\{Y=-1\}=p, P\{Y=1\}=1-p$, 令 $Z=XY$.
（1） 求 $Z$ 的概率密度;
（2）求 $p$ 为何值时， $X$ 与 $Z$ 不相关.
（3） 问 $X$ 与 $Z$ 是否相互独立?

解析

（1） $Z$ 的分布函数为

$$\begin{aligned} F_Z(z) & =P\{Z \leqslant z\} \\ & =P\{Y=-1\} \dot{P}\{X Y \leqslant z \mid Y=-1\}+P\{Y=1\} P\{X Y \leqslant z \mid Y=1\} \\ & =p P\{-X \leqslant z\}+(1-p) P\{X \leqslant z\} . \end{aligned}$$

当 $z<0$ 时, $F_Z(z)=p P\{X \geqslant-z\}+(1-p) \cdot 0=p \mathrm{e}^z$;
当 $z \geqslant 0$ 时, $F_Z(z)=p \cdot 1+(1-p) P\{X \leqslant z\}=1-(1-p) \mathrm{e}^{-z}$.
所以 $Z$ 的概率密度为

$$\begin{aligned} f_Z(z)=F_Z^{\prime}(z) & = \begin{cases}p \mathrm{e}^z, & z<0, \\ (1-p) \mathrm{e}^{-z}, & z \geqslant 0 .\end{cases} \\ \end{aligned}$$

（2）

$$\begin{aligned} \operatorname{Cov}(X, Z) & =\operatorname{Cov}(X,XY)\\ & =E\left(X^2 Y\right)-E (X) \cdot E(X Y) \\ & =E\left(X^2\right) \cdot E(Y)-(E X)^2 \cdot E(Y) \\ & =\operatorname{Var}(X) \cdot (Y) \\ & =1-2 p, \end{aligned}$$

令 $\operatorname{Cov}(X, Z)=0$, 解得 $p=\dfrac{1}{2}$. 所以当 $p=\dfrac{1}{2}$ 时, $X$ 与 $Z$ 不相关.
(3) 因为

$$\begin{gathered} P\{X \leqslant 1, Z \leqslant-1\}=P\{X \leqslant 1, X Y \leqslant-1\}=0, \\ P\{X \leqslant 1\}>0, P\{Z \leqslant-1\}>0, \end{gathered}$$

所以 $P\{X \leqslant 1, Z \leqslant-1\} \neq P\{X \leqslant 1\} P\{Z \leqslant-1\}$, 故 $X$ 与 $Z$ 不相互独立.

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t71

设 $X, Y$ 为两个随机变量, 且 $E X=2, E Y=1, \operatorname{Var}(X)=4, \operatorname{Var}(Y)=25, \rho_{XY}=-\dfrac{3}{5}$, 求 $E[X(X+Y-2)]$.

解析

$$\begin{aligned} E[X(X+Y-2)]&=E(X^2+XY-2X)\\ &=E(X^2)+E(XY)-2E(X)\\ &=\operatorname{Var}(X)+(E(X))^2+E(XY)-2E(X)\\ &=4+E(XY) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \operatorname{Corr}(X,Y)&=\dfrac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}=\dfrac{E(XY)-E(X)E(Y)}{10}\\ &=\dfrac{E(XY)-2}{10}\\ &=-\dfrac{3}{5} \end{aligned}$$

解得 $E(XY)=-4$ 再代入上式，得 $E[X(X+Y-2)]=0.$

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t72

设随机变量 $\mathrm{X}$ 和 $\mathrm{Y}$ 相互独立, 分别服从参数为 $\lambda_1, \lambda_2$ 的指数分布, 证明随机变量 $\mathrm{U}$ $=\mathrm{X}-\mathrm{Y}$ 和 $\mathrm{V}=\min \{\mathrm{X}, \mathrm{Y}\}$ 相互独立.

解析

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t73

默写大数定律和中心极限定理

答案

见《知识点总结》\S4.3、\S4.4.

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t74

设 $\left\{X_i\right\}$ 是独立同分布的随机变量序列, 且 $X_i \sim U(0,1)$, 令 $\displaystyle Y_n=\left(\prod_{i=1}^n X_i\right)^{\frac{1}{n}}$ 证明: $\ln Y_n \xrightarrow{P} C$, 并求出该常数.

解析

$\displaystyle \ln Y_n=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln X_i$

由于 $\left\{X_i\right\}$ 是独立同分布的随机变量序列, 则 $\left\{\ln X_i\right\}$ 也是独立同分布的随机变量序列。

$\displaystyle E\left(\ln X_i\right)=\int_0^1\ln xdx=-1$
由辛钦大数定律得: $\displaystyle \ln Y_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln X_i \xrightarrow{P} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nE\left(\ln X_i\right)=-1$

$C=-1.$

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t75

设 $\left\{X_n\right\}$ 为独立的随机变量序列, 其中 $X_n$ 服从参数为 $\sqrt{n}$ 的泊松分布, 试问 $\left\{X_n\right\}$是否服从大数定律?

解析

$$\frac{1}{n^2} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \leqslant \frac{n \sqrt{n}}{n^2} \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty) .$$

所以由马尔可夫大数定律知 $\left\{X_n\right\}$ 服从大数定律.

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t76

设 $\left\{X_n\right\}$ 为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为

$$P\left(X_n=\frac{2^k}{k^2}\right)=\frac{1}{2^k}, \quad k=1,2, \cdots .$$

试问 $\left\{X_n\right\}$ 是否服从大数定律?

解析

因为

$$E\left(X_n\right)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k^2} \cdot \frac{1}{2^k}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}<\infty,$$

即 $E\left(X_n\right)$ 存在, 所以由辛钦大数定律知 $\left\{X_n\right\}$ 服从大数定律.

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t77

在伯努利试验中, 事件 $A$ 出现的概率为 $p$, 令

$$X_n= \begin{cases}1, & \text { 若在第 } n \text { 次及第 } n+1 \text { 次试验中 } A \text { 都出现, } \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$$

证明 $\left\{X_n\right\}$ 服从大数定律.

解析

$\left\{X_n\right\}$ 为同分布随机变量序列, 其共同分布为

$$\begin{array}{c|cc} \hline X_n & 0 & 1 \\ \hline P & 1-p^2 & p^2 \\ \hline \end{array}$$

且 $E\left(X_n\right)=E\left(X_n^2\right)=p^2$, 从而 $\operatorname{Var}\left(X_n\right)=p^2\left(1-p^2\right) \leqslant 1$, 又当 $|i-j| \geqslant 2$ 时, $X_i$ 与 $X_j$ 独立，所以

$$\frac{1}{n^2} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)=\frac{1}{n^2}\left[\sum_{i=1}^n \operatorname{Var}\left(X_i\right)+2 \sum_{i=1}^{n-1} \operatorname{Cov}\left(X_i, X_{i+1}\right)\right] .$$

由施瓦茨不等式：

$$\left|\operatorname{Cov}\left(X_i, X_{i+1}\right)\right| \leqslant \sqrt{\operatorname{Var}\left(X_i\right)} \sqrt{\operatorname{Var}\left(X_{i+1}\right)}=p^2\left(1-p^2\right),$$

于是有

$$\frac{1}{n^2} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) \leqslant \frac{1}{n^2}\left[n p^2\left(1-p^2\right)+2(n-1) p^2\left(1-p^2\right)\right] \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty),$$

即马尔可夫条件成立, 故 $\left\{X_n\right\}$ 服从大数定律.

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t78

某型号螺丝钉的质量是相互独立且同分布的随机变量, 其期望为 $50 \mathrm{~g}$, 标准差 5 克,则 100 个该型号得螺丝钉质量不超过 $5.1 \mathrm{~kg}$ 的概率近似为？

解析

设 $\displaystyle Y=\sum_{i=1}^{100} X_i$由题意得, 各螺丝质量独立同分布, 由中心极限定理值, 其质量近似服从正态分布，即： $Y\sim N\left(5,0.05^2\right)$ (单位:千克)

进而计算有:

$$P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leq 5.1\right\}=P\left\{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{100} X_i-5}{\sqrt{0.05^2}} \leq \frac{5.1-5}{\sqrt{0.05^2}}\right\} \approx \Phi(2)$$

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t79

设某生产线上组装每件产品的时间服从指数分布, 平均需要 $10 \mathrm{~min}$, 且各件产品的组装时间是相互独立的.
(1) 试求组装 100 件产品需要 $15 \mathrm{~h}$ 至 $20 \mathrm{~h}$ 的概率;
(2) 保证有 $95 \%$ 的可能性, 问 $16 \mathrm{~h}$ 内最多可以组装多少件产品?

解析

记 $X_i$ 为组装第 $i$ 件产品的时间 (单位: $\min$ ), 则由 $X_i \sim \operatorname{Exp}(\lambda), E\left(X_i\right)=1 / \lambda=$ 10 , 知 $\operatorname{Var}\left(X_i\right)=1 / \lambda^2=100$.
（1）根据题意所求概率如下, 再用林德伯格一莱维中心极限定理可得

$$\begin{aligned} P\left(15 \times 60 \leqslant \sum_{i=1}^{100} X_i \leqslant 20 \times 60\right) & \approx \Phi\left(\frac{1200-100 \times 10}{\sqrt{100 \times 100}}\right)-\Phi\left(\frac{900-100 \times 10}{\sqrt{100 \times 100}}\right) \\ & =\Phi(2)-\Phi(-1)=\Phi(2)+\Phi(1)-1=0.8185 \end{aligned}$$

（2）设 $16 \mathrm{~h}$ 内最多可以组装 $k$ 件产品. 则根据题意可列出概率不等式

$$P\left(\sum_{i=1}^k X_i \leqslant 16 \times 60\right) \geqslant 0.95,$$

​ 再用林德伯格－莱维中心极限定理可得

$$\Phi\left(\frac{960-10 k}{\sqrt{100 k}}\right) \geqslant 0.95,$$

​ 由此查表得 $\dfrac{960-10 k}{10 \sqrt{k}} \geqslant 1.645$, 从中解得 $k=81$.

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t80

一家有 500 间客房的大旅馆的每间客房装有一台 $2 \mathrm{~kW}$ (千瓦) 的空调机. 若开房率为 $80 \%$, 需要多少千瓦的电力才能有 $99 \%$ 的可能性保证有足够的电力使用空调机?

解析

记

$$X_i= \begin{cases}1, & \text { 第 } i \text { 间客房开房, } \\ 0, & \text { 第 } i \text { 间客房未开房, }\end{cases}$$

则 $X_i \sim b(1,0.8)$, 由此得 $Y=X_1+X_2+\cdots+X_{500} \sim b(500,0.8)$. 设共有 $k \mathrm{~kW}$ 的电力可供使用, 根据题意可列不等式

$$P(2 Y \leqslant k)=P(Y \leqslant k / 2) \geqslant 0.99,$$

再用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理和修正项可得

$$\Phi\left(\frac{k / 2+0.5-500 \times 0.8}{\sqrt{500 \times 0.8 \times 0.2}}\right) \geqslant 0.99,$$

或

$$\Phi\left(\frac{k-799}{8 \sqrt{5}}\right) \geqslant 0.99$$

由此查表得 $\dfrac{k-799}{8 \sqrt{5}} \geqslant 2.33$, 从中解得 $k \geqslant 840.68$, 取 $k=841 \mathrm{~kW}$ 即可.这表明: 该旅馆每天需要 $841 \mathrm{~kW}$ 电力, 才能以 $99 \%$ 的把握保证空调机用电.

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t81

某保险公司多年的统计资料表明, 在索赔户中被盗索赔户占 $20 \%$, 以 $X$ 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.
(1) 写出 $X$ 的分布列;
(2) 求被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值.

解析

(1) $X$ 服从 $n=100, p=0.2$ 的二项分布 $b(100,0.2)$, 即

$$P(X=k)=\binom{100}{k} 0.2^k 0.8^{100-k}, \quad k=0,1,2, \cdots, 100 .$$

(2) 利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理并修正项，有

$$\begin{aligned} P(14 \leqslant X \leqslant 30) & =P(13.5<X<30.5) \\ & \approx \Phi\left(\frac{30.5-100 \times 0.2}{\sqrt{100 \times 0.2 \times 0.8}}\right)-\Phi\left(\frac{13.5-100 \times 0.2}{\sqrt{100 \times 0.2 \times 0.8}}\right) \\ & =\Phi(2.625)-\Phi(-1.625) \\ & =\Phi(2.625)-1+\Phi(1.625) \\ & =0.99565-1+0.948=0.9437 . \end{aligned}$$

这表明: 被盗索赔户在 14 与 30 户之间的概率近似为 0.9437 .

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t82

某产品的合格品率为 $99\%$, 问包装箱中应该装多少个此种产品, 才能有 $95 \%$ 的可能性使每箱中的合格品多于 $100$ 个。

解析

设包装中有几个产品. X为合格品数 $\quad X \sim B(n, 0.99)$
则 $E(x)=0.99 \pi \quad \operatorname{Var}(x)=0.99 \times 0.01 \times n$
由中心极限定理: $X$ 近似服从 $N(0.99 n, 0.99 \times 0.01 \times n)$

$$\begin{aligned} & \text { 目标: } P\{X>100\} \geqslant 0.95 \quad P\{X>100\}=1-P\{X \leqslant 100\}=1-P\left(\frac{X-0.99 n}{\sqrt{0.99 \times 0.01 \times n}} \leqslant \frac{100-0.99 n}{\sqrt{0.99 \times 0.01 \times n}}\right) \\ & \Rightarrow \Phi\left(\frac{100-0.99 n}{\sqrt{0.99 \times 0.01 \times n}}\right) \leqslant 0.05 \quad \text { 而 } \Phi(1.645)=0.95 \\ & \Rightarrow \frac{100-0.99 n}{\sqrt{0.99 \times 0.01 \times n}} \leq 1.655 \quad n \geqslant 103.19 \quad \text { 所以104个产品. } \end{aligned}$$

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t83

有一批建筑房屋用的木柱, 其中 $80 \%$ 的长度不小于 $3 \mathrm{~m}$, 现从这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 $3 \mathrm{~m}$ 的概率是多少?

解析

设 $X$ 为 100 根木柱中长度不小于 $3 \mathrm{~m}$ 的根数, 则 $X \sim b(100,0.8)$. 利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理, 所求概率为

$$\begin{aligned} P(X \leqslant 70) & =P(X<70.5) \approx \Phi\left(\frac{70.5-100 \times 0.8}{\sqrt{100 \times 0.8 \times 0.2}}\right) \\ & =1-\Phi(2.375)=0.0088 . \end{aligned}$$