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t15

设随机变量 X 的分布函数为

F(x)={0,x<0,12,0≤x<1,1−e−x,x≥1,F(x)=\left\{\begin{array}{c} 0, & x<0, \\ \frac{1}{2}, & 0 \leq x<1, \\ 1-e^{-x}, & x \geq 1, \end{array}\right.

求 P{X=1}P\{X=1\}

解析

根据事件概率与分布函数极限的关系有

P{X=1}=lim⁡x→1+F(x)−lim⁡x→1−F(x)=1−e−1−12=12−e−1P\{X=1\}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} F(x)-\lim _{x \rightarrow 1^{-}} F(x)=1-e^{-1}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-e^{-1}

随机变量的分布，《知识点总结》的 \S 2.1

t16

设随机变量 XX 的分布函数为

F(x)={0,x<0,1/4,0⩽x<11/3,1⩽x<31/2,3⩽x<6,1,x⩾6.,  F(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & x<0, \\ 1 / 4, & 0 \leqslant x<1 \\ 1 / 3, & 1 \leqslant x<3 \\ 1 / 2, & 3 \leqslant x<6, \\ 1, & x \geqslant 6 . \end{array}\right. \text {, }

试求 XX 的概率分布列及 P(X<3),P(X⩽3),P(X>1),P(X⩾1)P(X<3), P(X \leqslant 3), P(X>1), P(X \geqslant 1).

解析

大致想象一下 F(x)F(x) 的图像为阶梯状，这对应离散随机变量的分布函数形状，所以可以写出 XX 的分布列：

XX 的概率分布列为

X0136P141121612\begin{array}{c|cccc} \hline X & 0 & 1 & 3 & 6 \\ \hline P & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2} \\ \hline \end{array}

可以看到在 F(x)F(x) 中分段点的值为 XX 的取值。

P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)=13,P(X⩽3)=1−P(X=6)=12,P(X>1)=P(X=3)+P(X=6)=23,P(X⩾1)=1−P(X=0)=34.\begin{array}{ll} P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)=\dfrac{1}{3}, & P(X \leqslant 3)=1-P(X=6)=\dfrac{1}{2}, \\ P(X>1)=P(X=3)+P(X=6)=\dfrac{2}{3}, & P(X \geqslant 1)=1-P(X=0)=\dfrac{3}{4} . \end{array}

随机变量的分布，《知识点总结》的 \S 2.1

t17

设随机变量 XX 的概率密度为 f(x)={1−C∣x∣,−1<x<10, 其他 f(x)=\left\{\begin{array}{c}1-C|x|,-1<x<1 \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.

（1）求 CC 的值；

（2）求 Y=X2+1Y=X^2+1 的概率密度。

解析

（1）利用密度函数的正则性：

1=∫−∞∞f(x)dx=∫−11[1−C∣x∣]dx=2∫01(1−Cx)dx=2−C1=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\int_{-1}^{1}\left[1-C|x|\right]dx=2\int_{0}^{1}\left(1-Cx\right)dx=2-C

⇒C=1\Rightarrow C=1

（2）由于

FY(y)=PY{Y⩽y}=PX{X2+1⩽y}=PX{X2⩽y−1}={0,y<1P{−y−1⩽X⩽y−1},1⩽y<21,y⩾2\begin{aligned} & F_Y(y)=P_Y\{Y \leqslant y\}=P_X\left\{X^2+1 \leqslant y\right\}=P_X\left\{X^2 \leqslant y-1\right\} \\ & =\left\{\begin{array}{cc} 0, & y<1 \\ P\{-\sqrt{y-1} \leqslant X \leqslant \sqrt{y-1}\}, & 1 \leqslant y<2 \\ 1, & y \geqslant 2 \end{array}\right. \\ & \end{aligned}

故当 1⩽y<21 \leqslant y<2 时, 有

FY(y)=∫−y−1y−1(1−∣x∣)dx=2∫0y−1(1−x)dx=1−(1−y−1)2F_Y(y)=\int_{-\sqrt{y-1}}^{\sqrt{y-1}}(1-|x|) \mathrm{d} x=2 \int_0^{\sqrt{y-1}}(1-x) \mathrm{d} x=1-(1-\sqrt{y-1})^2

YY 的分布函数为

Fy(y)={0,y<11−(1−y−1)2,1⩽y<21,y⩾2F_y(y)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & y<1 \\ 1-(1-\sqrt{y-1})^2, & 1 \leqslant y<2 \\ 1, & y \geqslant 2 \end{array}\right.

YY 的密度函数为

fY(y)={1y−1−1,1<y<20, 其他 f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{y-1}}-1, & 1<y<2 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.

ps:ps: 一个检查 YY 密度函数正确性的技巧，YY 的密度函数不为 00 的区间，一定是 XX 不为 00 的区间通过变换得到的。比如 t17t17 ，XX 的密度函数不为 00 的区间为 (−1,1)(-1,1) ，则 X2+1X^2+1 后变为 (1,2)(1,2) ，即 YY 密度函数不为 00 的区间。

随机变量的分布，分布函数与概率密度函数，随机变量函数的分布《知识点总结》的 \S 2.1 、2.6

t18

设随机变量 XX 的期望存在，概率密度 p(x)p(x) 关于 x=μx=\mu 对称： p(μ+x)=p(μ−x)p(\mu+x)=p(\mu-x) ，证明： E(x)=μE(x)=\mu.

解析

E(X)=∫−∞∞xp(x)dx=∫−∞∞μp(x)dx+∫−∞∞(x−μ)p(x)dx(第一项积值为μ，是对照结果凑出来的μ)=μ∫−∞∞p(x)dx+∫−∞∞(x−μ)p(x)dx=μ+∫−∞∞(x−μ)p(x)dx (第二项考虑对称消去) =μ+∫−∞+∞tp(t+μ)dt(令t=x−μ)=μ\begin{array}{ll} E(X)&=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} x p(x) d x=\int_{-\infty}^{\infty} \mu p(x) d x+\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu) p(x) d x \quad(第一项积值为 \mu ，是对照结果凑出来的\mu) \\ &=\displaystyle\mu \int_{-\infty}^{\infty} p(x) d x+\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu) p(x) d x=\mu+\int_{-\infty}^{\infty}(x-\mu) p(x) d x \quad\text { (第二项考虑对称消去) }\\ &= \mu+\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} t p(t+\mu) dt \quad \text{(令$t=x-\mu$)}\\ &= \mu \\ \end{array}

 记 f(t)=tp(t+μ)f(−t)=−tp(μ−t)=−tp(t+μ)⇒f(t)+f(−t)=0f(t) 为奇函数，所以后一项积分值为0\quad \text { 记 } f(t) =t p(t+\mu) \quad f(-t)=-t p(\mu-t)=-t p(t+\mu) \Rightarrow f(t)+f(-t)=0 \quad f(t) \text { 为奇函数，所以后一项积分值为0}

t19

国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是个随机变量 XX (吨). XX 服从区间 [300,500][300,500] 上的均匀分布.每销售出一吨商品, 可为国家赚取外汇1.5千元; 若销售不出, 则每吨商品需贮存费 0.5 千元. 求: 应组织多少货源,才能使平均收益最大?

解析

设组织该货源 aa 吨. 则显然应该有 300⩽a⩽500300 \leqslant a \leqslant 500. 又记 YY 为在 aa 吨货源的条件下的收益额 (单位:千元), 则收益额 YY 为需求量 XX 的函数, 即 Y=g(X)Y=g(X). 由题设条件知: 当 X⩾aX \geqslant a 时, 则此 aa 吨货源全部售出, 共获利 1.5a1.5 a. 当 X<aX<a 时, 则售出 XX 吨 (获利 1.5X1.5 X ), 且还有 a−Xa-X 吨积压 (获利 −0.5(a−X)-0.5(a-X) ), 所以共获利 1.5X−0.5(a−X)1.5 X-0.5(a-X),由此知

g(X)={1.5a, 若 X⩾a,1.5X−0.5(a−X), 若 X<a={1.5a, 若 X⩾a,2X−0.5a, 若 X<a.g(X)=\left\{\begin{array}{ll} 1.5 a, & \text { 若 } X \geqslant a, \\ 1.5 X-0.5(a-X), & \text { 若 } X<a \end{array}= \begin{cases}1.5 a, & \text { 若 } X \geqslant a, \\ 2 X-0.5 a, & \text { 若 } X<a .\end{cases}\right.

E(Y)=∫−∞∞g(x)pX(x)dx=∫300500g(x)1200 dx=1200(∫a5001.5a dx+∫300a(2x−0.5a)dx)=1200(−a2+900a−3002).\begin{aligned} E(Y)&=\int_{-\infty}^{\infty} g(x) p_X(x) \mathrm{d} x=\int_{300}^{500} g(x) \frac{1}{200} \mathrm{~d} x\\ & =\frac{1}{200}\left(\int_a^{500} 1.5 a \mathrm{~d} x+\int_{300}^a(2 x-0.5 a) \mathrm{d} x\right) \\ & =\frac{1}{200}\left(-a^2+900 a-300^2\right) . \end{aligned}

所以当 a=450a=450 时可以获利最大。

随机变量函数的数学期望，随机变量函数的分布《知识点总结》的 \S 2.2

t20

试证: 对任意的常数 c≠E(X)c \neq E(X), 有

Var⁡(X)=E(X−E(X))2<E(X−c)2.\operatorname{Var}(X)=E(X-E(X))^2<E(X-c)^2 .

解析

常用的技巧：加一项减一项

E(X−E(X))2=E[(X−c)−(E(X)−c)]2=E(X−c)2−(E(X)−c)2,E(X-E(X))^2=E[(X-c)-(E(X)-c)]^2=E(X-c)^2-(E(X)-c)^2,

由于 c≠E(X)c \neq E(X), 所以 (E(X)−c)2>0(E(X)-c)^2>0, 由此得

Var⁡(X)=E(X−E(X))2<E(X−c)2.\operatorname{Var}(X)=E(X-E(X))^2<E(X-c)^2 .

t21

已知某商场一天来的顾客数 XX 服从参数为 λ\lambda 的泊松分布, 而每个来到商场的顾客购物的概率为 pp，每个顾客是否购买商品间相互独立。证明: 此商场一天内购物的顾客数服从参数为 λp\lambda p 的泊松分布.

解析

用 YY 表示商场一天内购物的顾客数, 则由全概率公式知, 对任意正整数 kk 有

P(Y=k)=∑i=k∞P(X=i)P(Y=k∣X=i)=∑i=k∞λie−λi!(ik)pk(1−p)i−k=(λp)kk!e−λ∑i=k∞[λ(1−p)]i−k(i−k)!=(λp)kk!e−λeλ(1−p)=(λp)kk!e−λp.\begin{aligned} P(Y=k) & =\sum_{i=k}^{\infty} P(X=i) P(Y=k \mid X=i)=\sum_{i=k}^{\infty} \frac{\lambda^i \mathrm{e}^{-\lambda}}{i!}\binom{i}{k} p^k(1-p)^{i-k} \\ & =\frac{(\lambda p)^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda} \sum_{i=k}^{\infty} \frac{[\lambda(1-p)]^{i-k}}{(i-k)!} \\ &=\frac{(\lambda p)^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda} \mathrm{e}^{\lambda(1-p)}\\ &=\frac{(\lambda p)^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda p} . \end{aligned}

ps:ps: 第一行到第二行的处理过程是因为要证明服从参数为 λp\lambda p 的泊松分布，所以凑出来和这个分布对应的系数。

全概率公式、随机变量的独立性、常用离散分布 《知识点总结》的 \S 1.4、1.5、2.4

t22

设一个人一年内患感冒的次数服从参数 λ=5\lambda=5 的泊松分布. 现有某种预防感冒的药物对 75%75 \% 的人有效 (能将泊松分布的参数减少为 λ=3\lambda=3 ), 对另外的 25%25 \% 的人不起作用. 如果某人服用了此药,一年内患了两次感冒, 那么该药对他 (她) 有效的可能性是多少?

解析

根据题干信息肯定需要通过条件概率来修正概率，关键是找到 P(A∣B)P(A \mid B) 中的事件 AA 和 BB

根据题干所求信息，容易得到 AA 的含义为该药有效；而这个 BB 即修正条件是“服药后一年感冒了两次”，所以：

记事件 BB 为“服用此药后,一年感冒两次”, 事件 AA 为“服用此药后有效”.

P(A∣B)=P(B)P(A∣B)P(A)P(B∣A)+P(Aˉ)P(B∣Aˉ)=0.75×322!e−30.75×322!e−3+0.25×522!e−5=0.889.P(A \mid B)=\dfrac{P(B)P(A\mid B)}{P(A)P(B\mid A)+P(\bar{A})P(B\mid \bar{A})}=\frac{0.75 \times \frac{3^2}{2!} \mathrm{e}^{-3}}{0.75 \times \frac{3^2}{2!} \mathrm{e}^{-3}+0.25 \times \frac{5^2}{2!} \mathrm{e}^{-5}}=0.889 .

贝叶斯公式、常用离散分布 《知识点总结》的 \S 1.5、2.4

t23

设随机变量 X∼N(108,32)X \sim N\left(108,3^2\right) ，求：
(1) P(102≤X≤117)P(102 \leq X \leq 117)
(2) 求 aa ，使 P(X<a)⩾0.95P(X<a)\geqslant0.95.

解析

（1）：

P(102⩽X⩽117)=P(102−1083⩽X−1083⩽117−1083)=P(−2⩽X−1083⩽3)=Φ(3)−Φ(−2)=Φ(3)−[1−Φ(2)]=0.9987−[1−0.9772]=0.9795.\begin{aligned} P(102 \leqslant X \leqslant 117) & =P\left(\frac{102-108}{3} \leqslant \frac{X-108}{3} \leqslant \frac{117-108}{3}\right)=P\left(-2 \leqslant \frac{X-108}{3} \leqslant 3\right) \\ & =\Phi(3)-\Phi(-2)\\ &=\Phi(3)-[1-\Phi(2)]=0.9987- [1-0.9772]\\&=0.9795 . \\ \end{aligned}

（2）：

P(X<a)=P(X−1083<a−1083)=Φ(a−1083)⩾0.95Φ(1.645)≈0.95⇒a⩾112.935\begin{aligned} P(X<a) & =P\left(\frac{X-108}{3}<\frac{a-108}{3}\right)=\Phi\left(\frac{a-108}{3}\right)\geqslant0.95 \\ \Phi(1.645) & \approx 0.95 \\ \Rightarrow a &\geqslant 112.935 \end{aligned}

正态分布的概率计算 《知识点总结》的 \S 2.5

t24

某种圆盘的直径在区间 (a,b)(a, b) 上服从均匀分布, 试求此种圆盘的平均面积.

解析

记 XX 为圆盘的直径, 则圆盘的面积为 Y=πX2/4Y=\pi X^2 / 4, 所以平均面积为

E(Y)=π4E(X2)=π4[(b−a)212+(a+b)24]=π12(a2+b2+ab).E(Y)=\frac{\pi}{4} E\left(X^2\right)=\frac{\pi}{4}\left[\frac{(b-a)^2}{12}+\frac{(a+b)^2}{4}\right]=\frac{\pi}{12}\left(a^2+b^2+a b\right) .

利用方差和期望的关系，通过背诵均匀分布的期望和方差快速得到答案。 《知识点总结》的 \S 一定要背诵的常用概率分布数学期 望和方差望和方差

t25

设某种商品每周的需求量 XX 服从区间 (10,30)(10,30) 上均匀分布, 而商店进货数为区间 (10,30)(10,30) 中的某一整数, 商店每销售 1 单位商品可获利 500500 元; 若供大于求则降价处理, 每处理 1 单位商品亏损 100100 元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时每 1 单位商品仅获利 300300 元. 为使商店所获利润期望值不少于 92809280 元, 试确定最少进货量.

解析

设进货量为 aa, 则利润为

g(X)={500X−100(a−X),10⩽X⩽a,500a+300(X−a),a<X⩽30={600X−100a,10⩽X⩽a,300X+200a,a<X⩽30.\begin{aligned} g(X) & =\left\{\begin{array}{l} 500 X-100(a-X), \quad 10 \leqslant X \leqslant a, \\ 500 a+300(X-a), \quad a<X \leqslant 30 \end{array}\right. \\ & = \begin{cases}600 X-100 a, & 10 \leqslant X \leqslant a, \\ 300 X+200 a, & a<X \leqslant 30 .\end{cases} \end{aligned}

所以平均利润为

E(g(X))=∫1030g(x)120 dx=120∫10a(600x−100a)dx+120∫a30(300x+200a)dx=−7.5a2+350a+5250.\begin{aligned} E(g(X)) & =\int_{10}^{30} g(x) \frac{1}{20} \mathrm{~d} x=\frac{1}{20} \int_{10}^a(600 x-100 a) \mathrm{d} x+\frac{1}{20} \int_a^{30}(300 x+200 a) \mathrm{d} x \\ & =-7.5 a^2+350 a+5250 . \end{aligned}

按照题意要求有

−7.5a2+350a+5250⩾9280 即 −7.5a2+350a−4030⩾0,-7.5 a^2+350 a+5250 \geqslant 9280 \text { 即 }-7.5 a^2+350 a-4030 \geqslant 0,

解得

2023⩽a⩽26,20 \frac{2}{3} \leqslant a \leqslant 26,

因此最少进货为 21 单位.

是 t19t19 的类似题。

t26

某种设备的使用寿命 XX (以年计) 服从指数分布, 其平均寿命为 44 年.制造此种设备的厂家规定, 若设备在使用一年之内损坏, 则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利 100100 元，而调换一台设备制造厂需花费 300300 元. 试求每台设备的平均利润.

解析

根据设备寿命 XX 服从指数分布，其平均寿命为 44 年，这说的就是寿命期望 E(X)=4E(X)=4 ，根据指数分布 Exp(λ)Exp(\lambda) 数学期望为 1λ\dfrac{1}{\lambda} 得到使用寿命服从参数为 14\dfrac{1}{4} 的指数分布。

p(x)={14e−14x,x⩾00,x<0p(x)=\left\{\begin{array}{r} \dfrac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}x},x\geqslant0 \\ 0,x<0 \end{array}\right.

所以一年内损坏的概率为

P(X⩽1)=∫0114e−14xdx=1−e−14=0.2212P(X\leqslant1)=\int_0^1\dfrac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}x}dx=1-e^{-\frac{1}{4}}=0.2212

所以一台机器平均利润 YY 为：

E(Y)=100+P(X⩽1)(−300)=33.64E(Y)=100+P(X\leqslant1)(-300)=33.64

t27

已知随机变量 XX 的密度函数为

p(x)=2π⋅1ex+e−x,−∞<x<∞.p(x)=\frac{2}{\pi} \cdot \frac{1}{\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}}, \quad-\infty<x<\infty .

试求随机变量 Y=g(X)Y=g(X) 的概率分布, 其中

g(x)={−1, 当 x<0,1, 当 x⩾0.g(x)=\left\{\begin{aligned} -1, & \text { 当 } x<0, \\ 1, & \text { 当 } x \geqslant 0 . \end{aligned}\right.

解析

因为 p(x)p(x) 为偶函数, 所以可得 P(X<0)=P(X⩾0)=0.5P(X<0)=P(X \geqslant 0)=0.5. 由此得

P(Y=−1)=P(X<0)=P(X⩾0)=P(Y=1)=0.5.P(Y=-1)=P(X<0)=P(X \geqslant 0)=P(Y=1)=0.5 .

所以 YY 的分布列为

Y−11P0.50.5\begin{array}{c|cc} \hline Y & -1 & 1 \\ \hline P & 0.5 & 0.5 \\ \hline \end{array}

t28

设随机变量 X∼U(0,1)X \sim U(0,1), 试求 1−X1-X 的分布.

解析

XX 的密度函数为

pX(x)={1,0<x<1,0, 其他. p_X(x)= \begin{cases}1, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

因为 y=g(x)=1−xy=g(x)=1-x 在 (0,1)(0,1) 上为严格单调减函数, 其反函数为 x=h(y)=1−yx=h(y)=1-y,且有 h′(y)=−1h^{\prime}(y)=-1, 所以 Y=1−XY=1-X 的密度函数为

pY(y)={pX(1−y)∣−1∣,0<y<1,0, 其他 ={1,0<y<1,0, 其他. p_Y(y)=\left\{\begin{array}{cl} p_X(1-y)|-1|, & 0<y<1, \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}= \begin{cases}1, & 0<y<1, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}\right.

这表明: 当 X∼U(0,1)X \sim U(0,1) 时, 1−X1-X 与 XX 同分布.

采用公式法求解连续随机变量密度函数，《知识点总结》的 \S2.6

t29

设随机变量 X\mathrm{X} 服从指数分布, 其概率为 f(x)={2e−2x,x>0,0, 其他, f(x)=\left\{\begin{array}{cl}2 e^{-2 x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.

证明:Y=1−e−2XY=1-e^{-2 X} 在区间 (0,1)(0,1) 上服从均匀分布.

解析

方法一：

由随机变量 XX 的概率密度函数可推之

FX(x)={1−e−2x,x≥0,0,x<0,F_X(x)=\left\{\begin{array}{cc} 1-e^{-2 x}, & x \geq 0, \\ 0, & x<0, \end{array}\right.

当 x>0x>0 时, 0<1−e−2x<10<1-e^{-2 x}<1
综上 y≤0,FY(y)=0;y≥1,FY(y)=1y \leq 0, F_Y(y)=0 ; y \geq 1, F_Y(y)=1
当 0<y<10<y<1 时, FY(y)=P{Y≤y}=P{1−e−2X≤y}F_Y(y)=P\{Y \leq y\}=P\left\{1-e^{-2 X} \leq y\right\}

=P{X≤−12ln⁡(1−y)}=FX(−12ln⁡(1−y))=y=P\left\{X \leq-\frac{1}{2} \ln (1-y)\right\}=F_X\left(-\frac{1}{2} \ln (1-y)\right)=y

综上:

FY(y)={0,x<0,y,0≤x<1,1,x≥1,F_Y(y)=\left\{\begin{array}{lc} 0, & x<0, \\ y, & 0 \leq x<1, \\ 1, & x \geq 1, \end{array}\right.

求导得:

fY(y)=ddyFY(y)={1,0<x<1,0, 其他. f_Y(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} F_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} 1, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right.

方法二：

由于 XX 在 X⩾0X\geqslant0 取值，所以 Y=1−e−2XY=1-e^{-2X} 的取值范围是 (0,1](0,1]

Y=1−e−2XY=1-e^{-2 X} 是严格单调递增的函数，其反函数为 h(y)=−12ln⁡(1−y)h(y)=-\dfrac{1}{2}\ln(1-y) ，对反函数求导：h′(y)=12(1−y)h^{\prime}(y)=\dfrac{1}{2(1-y)}

直接带公式有

fY(y)={fX(−12ln⁡(1−y))∣h′(y)∣,0<y<1，0, 其他. ={1,0<y<1，0, 其他. f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} f_X(-\dfrac{1}{2}\ln(1-y))|h^\prime(y)|, & 0<y<1 ， \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right.=\left\{\begin{array}{cc} 1, & 0<y<1 ， \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right.

t30

设 X∼N(μ,σ2)X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), 求 Y=eXY=\mathrm{e}^X 的概率密度函数 pY(y)p_Y(y).

解析

因为 Y=eXY=\mathrm{e}^X 的可能取值范围为 (0,∞)(0, \infty), 且 y=g(x)=exy=g(x)=\mathrm{e}^x 为严格单调增函数, 其反函数为 x=h(y)=ln⁡yx=h(y)=\ln y, 及 h′(y)=1/yh^{\prime}(y)=1 / y, 所以 YY 的密度函数为

pY(y)={pX(ln⁡y)∣1y∣,y>0,0, 其他 ={12πyσexp⁡{−(ln⁡y−μ)22σ2},y>0,0, 其他. p_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} p_X(\ln y)\left|\dfrac{1}{y}\right|, & y>0, \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}= \begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi} y \sigma} \exp \left\{-\dfrac{(\ln y-\mu)^2}{2 \sigma^2}\right\}, & y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}\right.

t31

(1) 设随机变量 X∼N(10,22)X \sim N\left(10,2^2\right) ，求 Y=3X+5Y=3 X+5 的分布
(2) 设随机变量 X∼N(0,22)X \sim N\left(0,2^2\right) ，求 Y=−XY=-X 的分布

解析

（1）：Y∼N(35,62)Y\sim N(35,6^2)

（2）：Y∼N(0,22)Y\sim N(0,2^2)

ps:ps: 设随机变量 XX 服从正态分布 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^2\right), 则当 a≠0a \neq 0 时, 有 Y=aX+b∼Y=a X+b \sim N(aμ+b,a2σ2)N\left(a \mu+b, a^2 \sigma^2\right)

t32

设 X∼N(0,σ2)X \sim N\left(0, \sigma^2\right), 求 Y=X2Y=X^2 的分布.

解析

因为 Y=X2Y=X^2 的可能取值区间为 (0,∞)(0, \infty), 所以当 y⩽0y \leqslant 0 时, YY 的密度函数为 pY(y)=0p_Y(y)=0.

而当 y>0y>0 时, YY 的分布函数为

FY(y)=PY(Y⩽y)=PX(X2≤y)=PX(−y≤X≤y)=2∫0y12πσe−x22σ2dx=22πσ∫0ye−x22σ2dxpY(y)=ddyFY(y)=22πσ⋅12y⋅e−y2σ2=12πyσexp⁡{−y2σ2}\begin{aligned} F_Y(y)&=P_Y(Y \leqslant y)=P_X\left(X^2 \leq y\right)=P_X(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) \\ & =2 \int_0^{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{x^2}{2 \sigma^2}} d x \\ & =\frac{2}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_0^{\sqrt{y}} e^{-\frac{x^2}{2 \sigma^2}} d x \\ p_Y(y)&=\frac{d}{d y} F_Y(y)=\frac{2}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y}} \cdot e^{-\frac{y}{2 \sigma^2}} \\ & =\frac{1}{\sqrt{2 \pi y} \sigma} \exp \left\{-\frac{y}{2 \sigma^2}\right\} \\ & \end{aligned}

综上，

pY(y)={12πyσexp⁡{−y2σ2},y>0,0, 其他. p_Y(y)= \begin{cases}\dfrac{1}{\sqrt{2 \pi y} \sigma} \exp \left\{-\dfrac{y}{2 \sigma^2}\right\}, & y>0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

t33

设随机变量 XX 的密度函数为

pX(x)={2xπ2,0<x<π,0, 其他. p_X(x)= \begin{cases}\dfrac{2 x}{\pi^2}, & 0<x<\pi, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

求 Y=sin⁡XY=\sin X 的密度函数 pY(y)p_Y(y).

解析

由于 XX 在 (0,π)(0,\pi) 取值，所以 Y=sin⁡XY=\sin X 的取值范围是 (0,1)(0,1)

当 0<Y<10<Y<1 时：FY(y)=PY(Y≤y)=PX(sin⁡X≤y)F_Y(y)=P_Y(Y \leq y)=P_X(\sin X \leq y) XX 的积分区间如下：

FY(y)=P(Y⩽y)=P(sin⁡X⩽y)=P(0⩽X⩽arcsin⁡y)+P(π−arcsin⁡y⩽X⩽π)=∫0arcsin⁡y2xπ2dx+∫π−arcsin⁡y2xπ2dxPY(y)=2arcsin⁡yπ2⋅11−y2+2(π−arcsin⁡y)π21−y2=2π1−y2PY(y)={2π1−y2,0<y⩽10,(其他)\begin{aligned} F_Y(y) & =P(Y \leqslant y)=P(\sin X \leqslant y) \\ & =P(0 \leqslant X \leqslant \arcsin y)+P(\pi-\arcsin y \leqslant X \leqslant \pi) \\ & =\int_0^{\arcsin y} \frac{2 x}{\pi^2} d x+\int_{\pi-\arcsin y} \frac{2 x}{\pi^2} d x \\ P_Y(y) & =\frac{2 \arcsin y}{\pi^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{2(\pi-\arcsin y)}{\pi^2 \sqrt{1-y^2}}=\frac{2}{\pi \sqrt{1-y^2}} \\ P_Y(y) & =\left\{\begin{array}{cl} \dfrac{2}{\pi \sqrt{1-y^2}}, & 0<y \leqslant 1 \\ 0, & \left.{(其他}\right) \end{array}\right. \end{aligned}

ps:ps: 如果函数 f(x)f(x) 连续， ϕ(x)\phi(x) 和 φ(x)\varphi(x) 可导，那么变限积分函数的求导公式可表示为

Φ′(x)=ddx∫ϕ(x)φ(x)f(t)dt=f[φ(x)]φ′(x)−f[ϕ(x)]ϕ′(x)\Phi^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_{\phi(x)}^{\varphi(x)} f(t) d t=f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x)-f[\phi(x)] \phi^{\prime}(x)

当然，如果忘记这个公式，可以硬算出 FY(y)F_Y(y) 后再求导。

t34

设随机变量 XX 的密度函数为

PX(x)={12,−1<x<014,0⩽x<20, 其他. P_X(x)= \begin{cases}\dfrac{1}{2}, & -1<x<0 \\ \dfrac{1}{4}, & 0 \leqslant x<2 \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}

求 Y=X2Y=X^2 的密度函数 PY(y)P_Y(y) .

解析

从别处看到一个写的很清楚的解析，直接放在下面：

下面解析中的图片,更清楚些

t35

设随机变量 X∼U(0,4)X \sim U(0,4) ，求 Y=X2−2X−3Y=X^2-2 X-3 的密度函数 PY(y)P_Y(y).

解析

XX 的在 (0,4)(0,4) 取值，则 Y=X2−2X−3=(X−1)2−4Y=X^2-2X-3=(X-1)^2-4 的取值范围是 [−4,5)[-4,5)

所以当 −4≤Y<5-4\leq Y <5 时：FY(y)=PY(Y≤y)=PX((X−1)2≤y+4)=PX(1−y+4≤X≤1+y+4)F_Y(y)=P_Y(Y\leq y)=P_X((X-1)^2\leq y+4)=P_X(1-\sqrt{y+4}\leq X\leq 1+\sqrt{y+4})

此时要注意：1−y+41-\sqrt{y+4} 的取值范围是 (−2,1)(-2,1) 所以要继续将 YY 的取值分成 (−4,−3)(-4,-3) 和 (−3,5)(-3,5) 分成两段考虑：

当 −4<Y<−3-4<Y<-3 时：

0<−y+4+1<1,1<y+4+1<2FY(y)=∫−y+4+1y+4+114dx⇒pY(y)=14(y+4)−12\begin{aligned} & 0<-\sqrt{y+4}+1<1, \quad 1<\sqrt{y+4}+1<2 \\ & F_Y(y)=\int_{-\sqrt{y+4}+1}^{\sqrt{y+4}+1} \frac{1}{4} d x \Rightarrow p_Y(y)=\frac{1}{4} (y+4)^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}

当 −3<Y<5-3<Y<5 时：

−y+4+1⩽0,2⩽y+4+1<4FY(y)=∫0y+4+114dx⇒pY(y)=18(y+4)−12\begin{aligned} &-\sqrt{y+4}+1 \leqslant 0,2 \leqslant \sqrt{y+4}+1<4 \\ & F_Y(y)=\int_0^{\sqrt{y+4}+1} \frac{1}{4} d x \Rightarrow p_Y(y)=\frac{1}{8} (y+4)^{-\frac{1}{2}} \end{aligned}

综上：

pY(y)={14(y+4)−12,−4⩽y<−318(y+4)−12,−3⩽y<50, 其他 p_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc} \dfrac{1}{4}(y+4)^{-\frac{1}{2}}, & -4\leqslant y<-3 \\ \dfrac{1}{8}(y+4)^{-\frac{1}{2}}, & -3 \leqslant y<5 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right.

t17、t27−t35t17、t27-t35 都是随机变量函数的分布问题，需要熟练掌握公式法和分布函数法，对应知识在《知识点总结》的 \S 2.6